()=+∞ → f x x x 0 lim , si et seulement si : ... Pour simplifier l’étude d’une fonction sur sur domaine, on regardera si elle possède des Chapitre 5. Lorsqu'il n'y a pas de conclusion en général, on dit alors qu'il y a un cas de forme indéterminée. Soit ‘2R.On dit que f a pour limite ‘en x0 si 8 >0 9 >0 8x 2I jx x0j< =)jf (x) ‘j< On dit aussi que f (x) tend vers ‘lorsque x tend vers x0.On note alors lim 3- La fonction admet-elle une limite en 1. II. Fonctions numériques : continuité, limites, dérivation, fonctions classiques H. Le Ferrand 25 novembre 2017 Figure 1–GottfriedWilhelmvonLeibniz,1646(Leipzig)-1716(Hanovre) 1. LIMITE en a a. Limite infinie en a et asymptote verticale Soit f une fonction Si « f ( x) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez proche de a », on dit que f a pour limite + ¥ en a et on note : x lfiim a f ( x ) = + ¥ On définit de la même façon xl ifim a f ( x ) = – ¥ On dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf Dé nition 7 : Soit fune fonction dé nie sur un ouvert Ude R2 et M 0 = (x 0;y 0) un élément de U. Alors f est continue en M 0 si et seulement si : lim b) Déterminer les limites … 1. Limite d'une somme Si f a pour limite l l l +∞ -∞ +∞ LIMITES 6 2. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES 2. On peut cependant être plus précis et écrire: lim x!0 < x =0 lim x!0 > x =0+: Avec les règles de calcul étendues ceci donne: lim x!0 < 1 x = 1 0 =1 lim x!0 > 1 x =1: Remarque Lorsque la limite de f en a existe,alors les limites à gauche et à droite I-5- Limite infinie en un réel x0 Définition 12: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0. 2 Limites d'une fonction 3 Continuité d'une fonction 4 Fonctions trigonométriques réciproques. 5 Limite d’une fonction composée 6 6 Théorèmes de comparaison 8-PAUL MILAN 1 TERMINALE S. TABLE DES MATIÈRES 1 Limite finie ou infinie à l’infini 1.1 Limite finie à l’infini Définition 1 : Direqu’unefonction f a pour limite ℓen +∞, signifie que tout 2) a) Demontrer les limites en +∞ et −∞ grâce à un encadrement. La fonction x 7!x a une limite nulle en 0. Une fonction peut avoir une limite infinie lorsque x tend vers + ∞ ou vers – ∞ sans que sa courbe posséde une asymptote ( c’est le cas de la fonction carré ) 2 ) LIMITE en a ( avec a réel ) Lorsque que l’on définit la limite d’une fonction f en un réel a , on considère que : a ∈ Df ou a est une borne de Df Dans les tableaux qui suivent, les limites des fonctions f et g sont prises soit en -∞, soit en + ∞, soit en un réel a. l et l' sont des nombres réels. Rappel : Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes La fonction a est définie sur ]−∞;+∞[ par a = −0,25 4 +3 K −2 +1 3. Théorème 4 (admis): Soit f une fonction définie au voisinage V de x0 (nombre fini ou non) Si f admet une limite finie en x0 alors cette limite est unique. Propriétés dans l'ensemble des réels a) Valeur absolue Dé nition 1.1 (Valeur absolue) On appelle valeur absolue d'un réel x, le nombre réel noté jxjdé ni par : jxj= (x si x > 0 Définitions Limite en un point Soit f: I!R une fonction définie sur un intervalle I de R. Soit x0 2R un point de I ou une extrémité de I. Définition 7. Définition1 : Soit une fonction définie sur un Limites 2.1. 4- Soit la fonction ( ) = et ℎ( ) = − 1 a) Remarquer que et sont confondues sur ]0,1[ et que et ℎ sont confondues sur ]1,2[ b) déterminer les limites de et de ℎen 1. f est une fonction définie sur R−{1} par : f(x) = 2x +sin x x −1 1) On a représenté ci-contre la fonction f. Conjecturer les limites de la fonction f en −∞ et −∞ et les limites à gauche et à droite de 1. Remarque : Les opérations sur les limites ont les mêmes propriétés que pour les limites de fonctions d'une seule ariablev réelle. Limites de fonctions I. Limites Le cours sur les limites de fonctions est plus volumineux que le cours sur les limites de suites car pour une suite, on envisage uniquement le cas où l’entier n tend vers +∞ : lim n→+∞ u n. Pour les fonctions, la variable x peut tendre vers +∞ ( lim x→+∞ f(x)) ou vers −∞ ( lim x Limite à l’infini d’une fonction rationnelle Propriété : Une fonction rationnelle a la même limite à l’infini que le quotient de ses termes de plus haut degré.